中岛变换的技巧
有相互作用的电子-声子系统的哈密顿量如下：
\begin{align}
H_0=&\sum_q \hbar\omega_q a^{\dagger}_q a_q + \sum_k \varepsilon_k c^{\dagger}_k c_k&\\
+&\sum_{q,k,\sigma}D_q c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c_{k,\sigma} a_q+h.c.&
\end{align}
选择合适的母函数$S$，做变换$H_S=e^{-S}He^{S}$，然后利用Baker–Campbell–Hausdorff公式：
\begin{align}
H_S&=H+[H,S]+\frac{1}{2}[[H,S],S]+\cdots&\\
&=H_0+(H_1+[H_0,S])+\frac{1}{2}[(H_1+[H_0,S]),S]+\frac{1}{2}[H_1,S]+\cdots&
\end{align}
令$H_1+[H_0,S]=0$，消去电子-声子的一阶相互作用，然后准确讨论至$H_1$的二阶哈密顿量$H_S=H_0+\frac{1}{2}[H_1,S]$
设$S=\sum_{q,k,\sigma} \Phi (k,q) c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c_{k,\sigma} a_q + h.c$
\begin{align}
\small H_1+i[H_0,S]=&\small\sum_{q,k,\sigma}D_q c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c_{k,\sigma} a_q+h.c. + i [\sum_q \hbar\omega_q a^{\dagger}_q a_q + \sum_k \varepsilon_k c^{\dagger}_k c_k , \sum_{q,k,\sigma} {\Phi (k,q)} c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c_{k,\sigma} a_q + h.c]&\\
=&\sum_q \sum_{k\sigma} [i\Phi(k,q)(\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_k-\hbar\omega_q)+D_q] c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c_{k,\sigma} a_q + h.c&\\
=&0&
\end{align}
故只需令$\Phi(k,q)=\frac{iD_q}{\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_k-\hbar\omega_q}$。
若直接计算对易子，得到的结果包含了$a^{\dagger}_q a_q,a^{\dagger}_q a^{\dagger}_q,a_q a_q$(声子自能修正，双声子过程项)和$c^{\dagger}_{k,\sigma} c_{k,\sigma}$的电子自能修正项以及$c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c^{\dagger}_{k^\prime-q,\sigma^\prime} c_{k^\prime\sigma^\prime} c_{k\sigma}$型的电子间有效相互作用项。为选出$H_{\rm eff}$，可在声子真空态求平均，然后去掉电子自能修正。
\begin{align}
H_{\rm eff}=&\left\langle 0 \right|\frac{1}{2}i[{H_1},S]\left| 0 \right\rangle&\\
=&\frac{1}{2}i\sum_q {\left\langle 0 \right|H_1\left| 1_q \right\rangle \left\langle 1_q \right|S\left| 0 \right\rangle} - {\left\langle 0 \right|S\left| 1_q \right\rangle \left\langle 1_q \right|H_1\left| 0 \right\rangle}&\\
=&\sum_{k\sigma,k^\prime\sigma^\prime,q} \frac{ \left| D_q \right| ^2 \hbar\omega}{(\varepsilon_{k+q}-\varepsilon _k)^2-(\hbar\omega_q)^2} c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c^{\dagger}_{k^\prime-q,\sigma^\prime} c_{k^\prime\sigma^\prime} c_{k\sigma}&
\end{align}
BCS哈密顿量的对角化
在费米面附近$|\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_k|<\hbar\omega_q\approx\hbar\omega_D$的能壳内有吸引作用，这里$\omega_D$为德拜频率。吸引区可以近似用一个厚度为$2\hbar\omega_D$的固定能壳代替。Bardeen等认为该能壳外排斥作用可以忽略，而能壳内净吸引可近似为常数，相当于取各项同性的s波散射。
在散射的电子对中，一对自旋和动量都相反的电子对吸引作用贡献最大。BCS约化哈密顿量可表示为：
\begin{align}
H=\sum_k \eta_k (c^{\dagger}_k c_k+c^{\dagger}_{-k} c_{-k}) + \frac{g}{V}\sum_k c^{\dagger}_k c^{\dagger}_{-k} c_{-k} c_k \quad \eta_k=\varepsilon_k-\mu
\end{align}
作平均场近似$\frac{g}{V}\sum_k \left\langle c_{-k} c_k \right\rangle =\Delta,\frac{g}{V}\sum_k \left\langle c^{\dagger}_k c^{\dagger}_{-k} \right\rangle =\Delta^*$
\begin{align}
H=\sum_k \eta_k (c^{\dagger}_k c_k+c^{\dagger}_{-k} c_{-k}) - \sum_k \Delta c^{\dagger}_k c^{\dagger}_{-k} + \Delta^* c_{-k} c_k + \frac{V}{g}|\Delta|^2
\end{align}
引入Nambu旋量$\phi=\left( \begin{array}{c} c_k \\c^{\dagger}_{-k}\end{array} \right)$，可得
\begin{align}
H=\sum_k \phi^{\dagger} M \phi - \sum_k \eta_k + \frac{V}{g}|\Delta|^2
\end{align}
\begin{align}
M=\left( \begin{matrix}
\eta_k&-\Delta\\
-\Delta^*&-\eta_k
\end{matrix} \right)
\end{align}
1 | M={{\eta_k,-\Delta},{-\Delta^*,-\eta_k}}; |